Il “Dilemma di Monty Hall”: il cambio di variabile

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Il dilemma di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità basato sul cambio di variabile.

In questi giorni ho rivisto uno dei miei film preferiti, “21 Blackjack”, ovvero la storia di  Ben, un timido e brillante studente del M.I.T., commesso in un negozio per permettersi la retta scolastica e deciso a diplomarsi col massimo dei voti per ottenere la borsa di studio di una prestigiosa università.

Notato dal professor Rosa per le sue spiccate abilità matematiche, il ragazzo viene arruolato nel gruppo di coetanei che, ogni fine settimana, parte segretamente alla volta di Las Vegas per impiegare le proprie doti al fine di capovolgere le probabilità di vincita ai tavoli di Blackjack.

Non voglio dirvi altro riguardo al film, dico solo per chi non lo avesse visto che è tratto da una storia vera, realmente accaduta negli anni ‘90. La cosa bella del film è che fa sembrare semplice anche ciò che non lo è, come in questa scena, che per me rimane la più bella del film:

Come dice anche il professor Rosa “bisogna sempre fare attenzione al cambio di variabile”, infatti, quella che avete appena sentito, non è una semplice storiella ma quello che generalmente viene definito come “il paradosso di Monty Hall”. Il paradosso di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano “Let’s Make a Deal” e prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

Una delle più famose riformulazione del problema è contenuta in una lettera del 1990 di Craig F. Whitaker, indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale “Parade”:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?” Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

Voi che cosa scegliereste? Non è facile, lo riconosco, e molto spesso nella vita quotidiana può sembrare la scelta migliore affidarsi alle emozioni, all’istinto, ma molto spesso tutto questo può non bastare se non siete accompagnati da un “bacio della provvidenza”.

Se lasciamo da parte tutto questo e ci concentriamo soltanto sul fattore statistico la risposta è SI, cambiando la scelta iniziale le probabilità di trovare l’automobile raddoppiano.

Vediamo di capire meglio la risposta, partendo dall’inizio, dove abbiamo a disposizione tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

  1.  Il giocatore sceglie la porta n°1. Il conduttore sceglie la n°2 mostrando una capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
  2. Il giocatore sceglie la porta n°2. Il conduttore sceglie la n°1. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
  3. Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

L’obiezione più comune alla soluzione è l’idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilità (pensate ai lanci ripetuti di una moneta e alla probabilità che esca testa, il passato non conta). Dunque, dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%.

Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi (come nel lancio di una moneta), non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante esempio è fornito dal conteggio delle carte uscite in alcuni giochi, come appunto il BlackJack, dove i giocatori possono sfruttare a proprio vantaggio l’informazione riguardante eventi passati. Questo tipo di informazione è utile nella soluzione del dilemma di Monty Hall.

Quello che realmente fa la differenza è la conoscenza del futuro o almeno la restrizione dei possibili eventi futuri. Infatti, mentre nel lancio della moneta le probabilità di uscita testa o croce non dipendono dai lanci passati, nel problema di Monty Hall i possibili eventi futuri si “riducono” dopo un preciso episodio. Nel caso del contare le carte, l’uscita di una carta modifica le possibili carte che possono ancora uscire, quindi ne modifica la probabilità. Nel caso del problema di Monty Hall, l’esclusione da parte del conduttore di una scelta certamente “sbagliata” rende attraente la porta rimanente più interessante della prima porta scelta quando non si aveva nessuna conoscenza.

Questo è solo un piccolo esempio, con il quale spero di aver suscitato un po’ di curiosità in più verso un mondo molto affascinante, ma spesso poco conosciuto, quello delle probabilità che come avete visto nelle giuste occasioni può servire anche nella vita quotidiana, anche senza essere dei veri “giocatori di carte”, come nel film.

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