La “Teoria dei Giochi” e l’equilibrio di Nash

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Teoria dei Giochi. Si ha un Equilibrio di Nashquando ogni agente ha a disposizione almeno una strategia dalla quale non ha alcun interesse ad allontanarsi se tutti gli altri giocatori hanno giocato la propria strategia. Se pensate alla terioria di Adam Smith, beh deve essere rivista, il bene di ognuno non determina il bene di tutti. Il bene di tutti si ottiene quando ognuno fa la scelta migliore per se e per gli altri.

Quello che state per leggere è un contributo che ho deciso di dedicare a John F. Nash, economista e matematico statunitense, una delle menti sicuramente più eclettiche degli ultimi anni.

Questo contributo non hanno la presunzione di essere esaustivi nel contenuto. Tuttavia, con esso mi pongo l’obiettivo di suscitare curiosità nel lettore ad approfondire la materia.

Questo, in quanto la teoria dei giochipuò essere argomento utile, anche nella vita quotidiana. Molto dei concetti di cui andremo ad approfondire, possono perfino aiutarci a superare le scelte che compiamo ogni giorno.

Vediamo, quindi, chi era John Nash e perché i suoi studi all’interno della Teoria dei Giochi hanno portato allo sviluppo di quello che viene chiamato, il “dilemma del prigioniero“.

Teoria dei giochi

Teoria dei giochi di John Nash

John Nash deve la sua fama allo sviluppo della cosiddetta “Teoria dei Giochi” che viene tutt’ora studiata in tutte le università del mondo e che, nel corso degli anni, si è sviluppata grazie al genio di molti economisti e matematici.

La Teoria dei Giochi (sorta a partire dagli anni ’40 del novecento ad opera del matematico John Von Neumann) è una scienza vera e propria che si avvale delle applicazioni matematiche più complesse per costruire modelli e strategie volte a prendere le decisioni statisticamente più corrette nelle decisioni.

Si tratta di una sorta di economia comportamentale, ovvero l’applicazione concreta della matematica nelle scelte di ogni giorno. In pratica, la Teoria dei Giochi analizza come ciascun soggetto coinvolto in una competizione possa sviluppare strategie e maturare le giuste decisioni per ottenerne il massimo vantaggio.

Si tratta di una teoria che si può applicare in tutti gli aspetti della nostra vita: dalla partita a poker con gli amici, alle scelte sugli investimenti finanziari ra multinazionali, perfino, per le scelte quotidiane, come la ragazza con cui uscire.

Di seguito, cercheremo di capire attraverso un famoso esempio, il c.d. “Dilemma del Prigioniero“, come è possibile sviluppare in maniera semplice ed intuitiva, la “Teoria dei Giochi” di John Nash.

Il Dilemma del prigioniero di John Nash

Vediamo un semplice esempio che ripropone il c.d. “Dilemma del Prigioniero” sviluppato da John Nash.

Siete pronti?! Si comincia!

Dilemma del prigioniero

Ipotizziamo che due criminali vengano accusati dalla Polizia di aver compiuto una rapina.

La polizia non dispone di prove sufficienti per trovare direttamente il colpevole. Quindi, dopo aver rinchiuso i due prigionieri in due celle diverse, interroga entrambi offrendo loro prospettive interessanti. Vediamole:

  • Confessare l’accaduto (C);

oppure

  • Non confessare (NC).

L’ispettore di polizia, comunica separatamente ai due prigionieri quanto segue. Fate attenzione, queste sono le condizioni della teoria:

  1. Nel caso in cui solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena, mentre l’altro viene condannato a 10 anni di carcere;
  2. Se entrambi confessano, vengono condannati entrambi a 5 anni di carcere;
  3. Se nessuno dei due confessa entrambi vengono condannati ad 1 anno;
  4. Ogni prigioniero può riflettere sulla strategia da scegliere, ma in ogni caso, nessuno dei due potrà conoscere la scelta fatta dall’altro.

Schema del dilemma del prigioniero

Al fine di comprendere meglio la situazione appena descritta provo a riepilogarla utilizzando la tabella sottostante. Tabella a doppia entrata, che evidenzia le strategie dei due e i guadagni derivanti dalle combinazioni delle loro decisioni.

Non confessare

Confessare

Non confessare

1 anno ciascuno

Evita la pena/condanna a 10 anni

Confessare

Condanna a 10 anni/evita la pena

5 anni ciascuno

Che cosa fareste voi in una situazione come questa?

Ovviamente, senza sapere la scelta dell’altro soggetto la scelta migliore per voi, ovvero non confessare, potrebbe non essere la migliore. Infatti, se l’altro soggetto confessa, evitate la pena, ma in caso contrario, se anche l’altro confessa, si va verso la soluzione peggiore. Ovvero cinque anni di reclusione ciascuno.

Come avrete sicuramente capito, non è detto che la scelta migliore per il singolo, sia la scelta migliore anche per tutto il gruppo.

Soluzione del dilemma del prigioniero

Secondo la Teoria dei Giochi, la scelta migliore da fare in una situazione come questa è di confessare.

In questo “gioco” la strategia di confessare è detta la “strategia dominante“. Ed è infatti definita come la strategia ottimale indipendentemente da ciò che fa l’alto avversario. In pratica, qualunque sia la scelta dell’avversario, scegliere di confessare garantisce sempre un guadagno maggiore rispetto a scegliere non confessa

Anche se appare evidente come in realtà sarebbe molto più conveniente per entrambi i prigionieri non confessare, poiché così facendo sconterebbero entrambi soltanto 1 anno di detenzione.

Questa scelta risulta estremamente rischiosa, poiché se l’avversario confessasse (come è razionale che faccia) allora chi non ha confessato sconterebbe ben 10 anni di carcere, mentre l’avversario sarebbe libero.

Gioco non cooperativo

Come avrete capito, il dilemma del prigioniero è un gioco non cooperativo.

L’unica variante che renderebbe vantaggioso per entrambi Non Confessare è che si tratti di un gioco cooperativo, ovvero che i due giocatori abbiano la possibilità di accordarsi preventivamente sulla strategia da adottare.

La ratio del dilemma del prigioniero

L’idea che la razionalità individuale preceda quella collettiva sottende e giustifica il concetto di equilibrio di Nash.

Infatti, dato un gioco, il giocatore ha il diritto di scegliere la strategia che preferisce nell’insieme di tutte le strategie attuabili.

Ipotizzando che il giocatore sia un soggetto razionale agirà attuando la strategia che gli consente di massimizzare il suo guadagno. Pertanto, una stessa strategia sarà adottata da più giocatori soltanto nel caso in cui questa massimizzi l’utilità di ciascun giocatore quando tutti attuano la stessa soluzione.

Da questa semplice premessa possiamo come un gioco ammette almeno un Equilibrio di Nashquando ogni agente ha a disposizione almeno una strategia dalla quale non ha alcun interesse ad allontanarsi se tutti gli altri giocatori hanno giocato la propria strategia.

Se ne deduce quindi che se i giocatori raggiungono un equilibrio di Nash, nessuno può più migliorare il proprio risultato modificando solo la propria strategia, ed è quindi vincolato alle scelte degli altri.

Poiché questo vale per tutti i giocatori, è evidente che se esiste un equilibrio di Nash ed è unico, esso rappresenta la soluzione del gioco, in quanto nessuno dei giocatori ha interesse a cambiare strategia.

Il contributo più importante dato da John Nash alla Teoria dei Giochi è la dimostrazione matematica dell’esistenza di questo equilibrio.

La teoria di Nash

In particolare egli ha dimostrato che ogni gioco finito ha almeno un equilibrio di Nash. Con gli anni il l’equilibrio di Nash è diventato un criterio fondamentale per giudicare la plausibilità di una specifica strategia come soluzione di un gioco, mettendo a disposizione degli studiosi un test molto semplice a cui sottoporre le loro teorie.

Se il comportamento previsto dal loro modello economico si discosta dall’equilibrio di Nash, allora sarà difficile sostenere la verificabilità del modello stesso, in quanto almeno uno degli agenti preferirà cambiare la propria strategia!

A questo punto, per riportare l’esempio astratto alla realtà, riprendiamo l’esempio precedente e sostituiamo gli Stati Uniti e l’URSS ai due prigionieri e al posto della confessione la decisione dell’’armamento con l’atomica (ovviamente la non confessione con la decisione di non armamento).

In questo modo il dilemma descrive compiutamente come per le due nazioni fosse inevitabile al tempo della Guerra Fredda la corsa agli armamenti, benché questo risultato finale fosse non ottimale per nessuna delle due superpotenze (e per il mondo), con le conseguenze che noi tutti sappiamo.

Teoria dei Giochi: conclusioni

 Le conclusione che possiamo trarre è che il dilemma del prigioniero mette in risalto il conflitto tra:

  1. razionalità individuale: nel senso di massimizzazione dell’interesse personale;
  2. efficienza: ovvero miglior risultato possibile, sia individuale che collettivo.

Applicando una strategia individualistica infatti si ottiene un esito inferiore rispetto a quanto ottenibile nel caso in cui si possa raggiungere un accordo negoziale.

2 comments

  1. La ringrazio per il link all’articolo. Torni a trovarci. Un saluto

  1. Pingback: Angelo Stella. Matematica generale ed applicata

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